Trong caùc baûn vaên chöõ Phaïn thôøi nguyeân thuûy, zero ñöôïc goïi laø "suønya". Theo F. Th. Stcherbatsky, Phaät giaùo nguyeân thuûy duøng chöõ "suønya" ñeå goïi teân ñieåm giôùi haïn cuûa theá giôùi thöôøng nghieäm (bhuøtakoti). Vaäy treân phöông dieän tuïc ñeá, laø giôùi haïn cuûa caùc soá hay toå hôïp soá, "suønya" töùc zero khoâng coù yeáu tính quyeát ñònh, töùc voâ töï tính gioáng nhö caùc soá hay toå hôïp soá. Nhöng "suønya" laïi ñoàng nghóa toaùn hoïc vôùi töø ngöõ "ambara". Vì chöõ naøy coøn coù nghóa khaùc laø thieân khoâng hay hö voâ (sky; empty space) neân veà sau thöôøng xaûy ra tröôøng hôïp laàm laãn "suønya" coù nghóa laø troáng roãng, ngoan khoâng. Do ñoù neáu duøng toaùn ngöõ ñeå dieãn taû vaø phaùt bieåu thôøi khoâng theå laãn loän nghóa nguyeân thuûy cuûa zero laø voâ töï tính vôùi nghóa cuûa töø ambara laø troáng roãng, ngoan khoâng.

Sau ñaây seõ öùng duïng toaùn ngöõ ñeå giuùp hieåu yù nghóa bieän chöùng phaùp qua boán thieân kieán cuûa töù cuù Trung quaùn vaø moái quan heä giöõa töù cuù Trung quaùn vaø taùnh Khoâng. Theo moät soá ñoâng hoïc giaû thôøi pheùp bieän chöùng ñaõ xuaát hieän trong giaùo phaùp cuûa ñöùc Phaät raát laâu tröôùc khi Zeno ôû Hy laïp, ñöôïc Aristotle thaùn phuïc coi nhö trieát gia ñaõ saùng taïo pheùp bieän chöùng, ñeà ra nhieàu nghòch lyù (paradox) ñeå choáng laïi vaø thaùch ñoá nhöõng chuû tröông soá nhieàu (pluralism), söï hieän höõu cuûa chuyeån ñoäng (motion) vaø bieán dòch (change). "Achilles chaïy ñua vôùi con ruøa" laø teân moät nghòch lyù cuûa Zeno coù lieân heä ñeán ñaëc tính cuûa taäp hôïp thöïc soá. Achilles chaáp cho ruøa chaïy tröôùc moät khoaûng x1 meùt. Khi Achilles chaïy ñeán möùc x1 meùt thôøi ruøa ñaõ chaïy theâm moät khoaûng x2 meùt. Cöù nhö theá maø tieáp dieãn lyù luaän khoâng ngöøng thôøi thaáy raèng Achilles chaúng bao giôø baét kòp ruøa.

Luaän chöùng cuûa Zeno laø baèng vaøo söï chia ñoaïn ñöôøng chaïy thaønh moät soá voâ haïn ñoaïn nhoû theo thöù töï coù ñoä daøi laø x1, x2, x3, ... Coù moät caùch giaûi quyeát nghòch lyù ñoù laø baûo raèng Achilles baét kòp con ruøa sau khi chaïy X meùt, X laø thöïc soá beù nhaát trong soá caùc thöïc soá lôùn hôn nhöõng thöïc soá x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, ... Nhöng lôøi giaûi nghòch lyù nhö vöøa trình baøy hoaøn toaøn phuï thuoäc vaøo söï hieän höõu cuûa thöïc soá X, töùc laø thöïc soá beù nhaát trong soá caùc thöïc soá lôùn hôn nhöõng thöïc soá x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, ... Söï hieän höõu moät thöïc soá X nhö vaäy laø do ñaëc tính lieân tuïc cuûa taäp hôïp thöïc soá.

Nhöng thöïc soá laø gì? Moïi ñöôøng thaúng coù theå duøng ñeå töôïng tröng taäp hôïp thöïc soá vôùi ñieàu kieän laø choïn moät ñieåm treân ñöôøng thaúng, baát kyø laø ñieåm naøo, laøm ñieåm goác O vaø choïn moät ñieåm thöù hai khoâng xa ñieåm goác laøm ñieåm ñôn vò 1. Moät ñöôøng thaúng voâ taän ôû hai ñaàu nhö vaäy goïi laø ñöôøng thaúng soá. (Xem hình 1)

Hình 1: Ñöôøng thaúng soá

Tính chaát ñaëc bieät cuûa taäp hôïp thöïc soá laø giöõa baát kyø hai thöïc soá naøo cuõng coù moät thöïc soá thöù ba. Ñoù laø ñaëc tính lieân tuïc cuûa caùc thöïc soá. Bôûi taïi ñaëc tính lieân tuïc naøy maø ta khoâng theå noùi roõ thöïc soá naøo laø soá theo sau hay ñöùng tröôùc moät thöïc soá khaùc. Nhöng chính nhôø coù tính chaát lieân tuïc ta môùi coù theå duøng moät ñoaïn thaúng soá ñeå hình dung moät chuoãi saùt na sinh dieät töông tuïc, hai saùt na keá tieáp khoâng coù khoaûng caùch, chuùng khaùc nhau vaø töông öùng vôùi hai thöïc soá keà vaø khaùc nhau.

Taäp hôïp soá nguyeân (natural numbers; integers) laø moät taäp hôïp con cuûa taäp hôïp thöïc soá, taïi vì soá nguyeân naøo cuõng laø thöïc soá. Tuy vaäy soá nguyeân raát khaùc vôùi thöïc soá. Ñi töø moät soá nguyeân naøy qua moät soá nguyeân keá tieáp thôøi phaûi "nhaûy", nhö nhaûy töø 1 qua 2, qua 3, ... Tính chaát ñoù goïi laø tính chaát giaùn ñoaïncuûa caùc soá nguyeân. Traùi laïi, ta coù theå töø töø ñi moät caùch lieân tuïc qua heát thaûy caùc thöïc soá cuûa moät khoaûng caùch khoâng bò giaùn ñoaïn, chaúng haïn töø soá zero ñeán soá 1. Trong khoaûng [0,1] (töùc laø khoaûng töø 0 ñeán 1, keå caû 0 vaø 1) coù voâ soá thöïc soá nhöng khoâng coù soá nguyeân naøo.

Moät quan heä nhaân quaû raát quan troïng goïi laø haøm soá ñeám (counting function) thöôøng ñöôïc thieát laäp giöõa taäp hôïp soá nguyeân vôùi moät taäp hôïp vaät theå maø ta muoán ñeám soá löôïng. Thí duï: Ta coù theå thieát laäp moät haøm soá ñeám treân chính taäp hôïp soá nguyeân. Cöù moãi soá nguyeân, ta töông hôïp soá nguyeân chính noù. Vaäy taäp hôïp soá nguyeân thuoäc loaïi voâ haïn ñeám ñöôïc (khaû löôïng). Traùi laïi, khoâng theå thieát laäp haøm soá ñeám treân taäp hôïp thöïc soá. Bôûi vì khoâng theå naøo taùch bieät moät thöïc soá vôùi thöïc soá keà noù ñeå töông hôïp moät soá nguyeân. Vaäy taäp hôïp thöïc soá thuoäc loaïi voâ haïn khoâng ñeám ñöôïc (baát khaû tö löôøng). Ñaïi löôïng voâ haïn ñeám ñöôïc taát nhieân beù thua ñaïi löôïng voâ haïn khoâng ñeám ñöôïc bôûi taäp hôïp soá nguyeân naèm chöùa trong taäp hôïp thöïc soá.

Kinh Kim Cang coù caâu "dó haèng haø sa ñaúng thaân boá thí" dòch laø 'ñem thaân maïng baèng soá caùt soâng Haèng ra boá thí' vaø caâu "thò kinh höõu baát khaû tö nghì baát khaû xöùng löôïng voâ bieân coâng ñöùc" dòch laø 'kinh naøy coù coâng ñöùc voâ bieân khoâng theå nghó, khoâng theå löôøng' (Kinh Kim Cang giaûng giaûi. Ñoaïn Trì kinh coâng ñöùc. Thích Thanh Töø). Trong hai caâu aáy ñöùc Phaät so saùnh hai ñaïi löôïng: soá caùt soâng Haèng laø ñaïi löôïng voâ haïn ñeám ñöôïc so saùnh vôùi coâng ñöùc thoï trì ñoïc tuïng kinh Kim Cang laø ñaïi löôïng voâ bieân chaúng theå caân löôøng. Theo Toaùn hoïc noùi soá caùt soâng Haèng ñeám ñöôïc töùc laø coù theå thieát laäp moät haøm soá ñeám, nghóa laø cöù töøng haït caùt ta töông hôïp moät soá nguyeân baét ñaàu töø soá 1. Sôû dó ñeám ñöôïc vì caùt laø haït giaùn ñoaïn coù theå phaân bieät haït naøy vôùi haït kia. Traùi laïi coâng ñöùc thoï trì kinh khoâng ñeám ñöôïc vì khoâng theå phaân bieät töøng phaàn töû coâng ñöùc. Leõ dó nhieân, ñaïi löôïng voâ haïn caùt khoâng laøm sao saùnh baèng ñaïi löôïng voâ haïn coâng ñöùc vì ñaïi löôïng tröôùc ñeám ñöôïc maø ñaïi löôïng sau khoâng ñeám ñöôïc.

Trong Thieàn luaän, Taäp Haï, Tueä Só chuù dòch, khi luaän veà boán caùch nhìn Phaùp giôùi cuûa Hoa Nghieâm toâng thieàn sö Suzuki coù noùi caùch nhìn thöù tö laø ñaëc saéc nhaát cuûa giaùo thuyeát Hoa Nghieâm khaùc haún vôùi caùc toâng phaùi Phaät giaùo khaùc. Theo caùch naøy, "Phaùp giôùi nhö laø moät theá giôùi trong ñoù moãi moät vaät theå rieâng bieät cuûa noù ñoàng nhaát vôùi moïi vaät theå rieâng bieät khaùc, maø taát caû nhöõng giôùi haïn phaân caùch giöõa chuùng thaûy ñeàu bò boâi boû". Khaùi nieäm lieät soá ñöôïc duøng ñeå giaûi thích caùch nhìn thöù tö naøy vaø theo thieàn sö Suzuki ñoù chính laø caùch nhìn theo quan ñieåm cuûa ngaøi Phaùp Taïng.

Baây giôø ta laëp laïi pheùp duøng lieät soá ñeå tìm hieåu loaïi Phaùp giôùi thöù tö cuûa Hoa Nghieâm toâng. Trong thí duï sau ñaây, giaû thöû lieät soá coù daïng {2n}. Kyù hieäu {2n} bieåu töôïng moät daõy soá töông öùng vôùi nhöõng trò soá cuûa n, baét ñaàu laø n = 1 thôøi tính soá 2 x 1 = 2, ñeán n = 2 thôøi tính soá 2 x 2 = 4, ñeán n = 3 thôøi tính soá 2 x 3 = 6, ... ...

Nhö vaäy {2n} laø daõy soá goàm voâ soá haïng töø: {2n} = 2, 4, 6, ..., 2n, ... ... ...

Muoán khai trieån moät lieät soá thaønh moät daõy soá voâ taän, ta caàn bieát ñeán taïo sinh töø (generator) sinh ra noù. Trong thí duï naøy, taïo sinh töø cuûa lieät soá laø 2n.

Theo Phaùp Taïng, moãi haïng töø 2n, coù theå ñöôïc coi laø coù töông quan vôùi nhöõng haïng töø khaùc treân hai phöông dieän: toàn taïi vaø taùc duïng. Quaû vaäy, haïng töø 2n coù theå hieåu theo hai nghóa khaùc nhau nhö theá.

Treân phöông dieän töông quan toàn taïi hay tónh, moái töông quan ñoù goïi laø töông töùc, nghóa laø ñoàng nhaát. Theo nghóa naøy, taïo sinh töø 2n ñoàng nhaát vôùi baát cöù haïng töø naøo cuûa lieät soá. Neáu n = 1, thì ta coù haïng töø 2 x 1 = 2. Neáu n = 2, thôøi ta coù haïng töø 2 x 2 = 4, v..v...

Taïo sinh töø 2n cuõng ñoàng nhaát vôùi toaøn theå lieät soá. Toaøn theå lieät soá thaâu nhieáp laïi trong moät haïng töø maø ta goïi laø taïo sinh töø 2n. Do ñoù, moãi haïng töø coù yù nghóa laø do bôûi lieät soá vaø lieät soá coù yù nghóa laø do bôûi taïo sinh töø.

Treân khía caïnh töông quan taùc duïng hay ñoäng, moãi haïng töø ñoùng goùp cho theå caùch toång quaùt cuûa lieät soá. Neáu gaït moät haïng töø naøo ñoù ra khoûi lieät soá thôøi lieät soá khoâng coøn taùc duïng nhö laø moät lieät soá nöõa. Khi taùch ra khoûi lieät soá, haïng töø khoâng coù nghóa gì caû; do ñoù, haïng töø khoâng toàn taïi bôûi vì 2n ñöôïc goïi laø haïng töø chæ khi naøo noù naèm trong lieät soá maø thoâi. Khi 2n ñoàng nhaát vôùi moãi moät haïng töø cuûa lieät soá, thì noù höõu cuøng; khi 2n ñoàng nhaát vôùi toaøn theå lieät soá thì noù voâ cuøng. Toùm laïi, moãi haïng töø 2n ñöôïc coi nhö bao dung trong noù toaøn theå lieät soá vaø noù khoâng phaûi laø moät phaàn töû ñoäc laäp vaø taùch bieät khi naèm trong lieät soá. Ñoù chính laø ñaëc tính cuûa "söï söï voâ ngaïi phaùp giôùi".

Theo nhöõng tröôøng hôïp vöøa keå treân toaùn ngöõ coù theå thay theá ngoân ngöõ vaø luaän lyù ñeå dieãn taû vaø phaùt bieåu. 'Soá' coù theå thay theá 'töø ngöõ' ñeå thaønh laäp meänh ñeà. Moãi soá hay moãi toå hôïp soá (toång soá, hieäu soá, tích soá, hay thöông soá) ñeàu hieän höõu theo ñònh thöùc duyeân khôûi, nghóa laø töông quan töông duyeân vôùi nhieàu soá khaùc. Y Ù nghóa cuûa chuùng suy ra töø khoaûng caùch chuùng vôùi soá zero vaø taát caû chuùng ñeàu quy chieáu veà soá zero.

Zero toïa ngay ôû goác O treân ñöôøng thaúng soá. Goác O töùc soá zero laø ñieåm giôùi haïn khi caùc thöïc soá döông hay khi caùc thöïc soá aâm tieán veà phía noù. Thuyeát thöïc soá coù moät ñònh lyù toái quan troïng goïi laø ñònh lyù veà söï hieän höõu giôùi haïn: "Neáu moät lieät soá taêng maø bò chaän treân hay giaûm maø bò chaän döôùi thôøi lieät soá hoäi tuï taïi moät ñieåm goïi laø ñieåm giôùi haïn cuûa lieät soá". Trong tröôøng hôïp quaù trình tu chöùng cuûa moät haønh giaû ñöôïc bieåu dieãn baèng moät lieät soá taêng hay giaûm vaø tieán ñeán zero thôøi theo ñònh lyù veà söï hieän höõu giôùi haïn, vì quaù trình aáy coù ñieåm chaän laø ñieåm zero neân quaù trình aáy chaéc chaén hoäi tuï taïi ñieåm chöùng ñaéc. Noùi caùch khaùc, theo thuyeát thöïc soá, haønh giaû ñöôïc baûo ñaûm thaønh töïu neáu tinh taán tích luõy coâng ñöùc, thanh loïc baûn thaân, cuùng döôøng, tinh taán trong vieäc thöïc haønh saùu ba la maät.

Baây giôø ñaõ ñeán luùc duøng thuyeát thöïc soá ñeå giaûi thích töù cuù. Töù cuù khaúng ñònh coù theå vieát theo daïng luaän lyù hình thöùc nhö sau:

Treân phöông dieän Chaân ñeá, zero gioáng nhö Thaät töôùng, khoâng coù ngoân ngöõ vaø luaän lyù ñeå dieãn taû noù. Zero laø sieâu vieät ñoái ñaõi, voâ töôùng, khoâng tuøy thuoäc vaøo soá hay nhaân duyeân naøo khaùc (töï tri baát tuøy tha), khoâng phaùt bieåu moät tích löôïng naøo caû (tòch dieät voâ hyù luaän), vaø khoâng laø soá aâm khoâng laø soá döông (voâ dò voâ phaân bieät).

Sau ñaây, caùc soá hay toå hôïp soá seõ thay theá caùc töø ngöõ ñeå dieãn taû boán thieân kieán cuûa töù cuù. Keát quaû caàn chöùng minh laø caû boán thieân kieán ñeàu laø zero, töùc laø Khoâng. Nghóa laø treân phöông dieän Chaân ñeá, chuùng laø voâ töôùng, vaø treân phöông dieän tuïc ñeá, chuùng khoâng coù yeáu tính quyeát ñònh, khoâng coù töï tính, töï ngaõ.

Tröôùc tieân thay vì moät töø ngöõ, ta choïn ngaãu nhieân moät toå hôïp soá, (+3 + 5) chaúng haïn, ñeå bieåu töôïng moät söï theå. Vì khaúng ñònh laø xaùc nhaän söï thuoäc vaøo moät taäp hôïp goàm caùc söï theå ñoàng phaåm, cho neân thieân kieán thöù nhaát khaúng ñònh A coù theå vieát theo daïng phöông trình sau:

(1)    (+3 +5) =8

Phöông trình (1) xem nhö meänh ñeà xaùc nhaän söï quan heä giöõa hai khaùi nieäm theo luaät ñoàng quy nhaát (taødaøtmya; Principle of Identity), hay coøn goïi laø tröïc quaùn toång hôïp phaùn ñoaùn (intuitive synthetic judgment). Noù coù yù nghóa gioáng caâu noùi : "Taïi ñaây coù caây vì coù lau saäy". Khaùi nieäm (+3 +5) vaø khaùi nieäm 8 ñeàu quy chieáu veà cuøng chung moät thöïc taïi ñieåm, moät caên baûn höõu phaùp. Trong tröôøng hôïp naøy caên baûn höõu phaùp coù theå goïi teân laø 8 vaø xem 8 nhö moät uaån (skandha), taäp hôïp cuûa nhöõng caùi goïi laø (+3 +5), laø (+2 +6), laø (1+7), ... Treân hình thöùc luaän lyù coù hai teân khaùc nhau laø 8 vaø (+3 +5). Nhöng töï theå cuûa chuùng chæ laø moät. Do ñoù, vieát laïi phöông trình (1) baèng caùch ñöa taát caû veà moät veá thôøi ta thaáy töï theå cuûa chuùng laø zero:

(1')    [(+3 +5)- 8]= 0

Phöông trình (1') laø moät loái phaùt bieåu phöông trình (1) theo nguyeân lyù nhaát ña töông töùc cuûa Hoa Nghieâm toâng.

Keát luaän: Khaúng ñònh A laø zero. Nhö vaäy coù nghóa laø moïi khaúng ñònh ñeàu voâ töôùng treân phöông dieän Chaân ñeá vaø voâ töï tính treân phöông dieän tuïc ñeá.

Cuøng moät loái lyù luaän nhö treân, thieân kieán thöù hai phuû ñònh -A coù theå vieát theo daïng phöông trình sau:

(2)    - (+3 +5) =- 8

bôûi vì phuû ñònh laø khaúng ñònh caùi ñoái nghòch.

Ñöa taát caû veà moät veá:

(2')    [- (+3 +5) + 8] = 0

Keát luaän: Phuû ñònh -A laø zero. Nhö vaäy coù nghóa laø moïi phuû ñònh ñeàu voâ töôùng treân phöông dieän Chaân ñeá vaø voâ töï tính treân phöông dieän tuïc ñeá.

Thieân kieán thöù ba, A * - A,khaúng ñònh lieân hôïp hai thieân kieán ñaàu (vöøa khaúng ñònh vöøa phuû ñònh) coù theå vieát theo daïng phöông trình sau:

(3)    (+3 +5) + - (+3 +5) = 8 + (-8)

Keát quaû sau khi laøm tính:

(3')    (+3 +5) + - (+3 +5) - [8 + (-8)] = 0

Keát luaän: Khaúng ñònh A * - A lieân hôïp caû hai thieân kieán ñaàu laø zero. Nhö vaäy coù nghóa laø moïi khaúng ñònh lieân hôïp caû hai thieân kieán ñaàu ñeàu voâ töôùng treân phöông dieän Chaân ñeá vaø voâ töï tính treân phöông dieän tuïc ñeá.

Cuøng moät loái lyù luaän nhö trong thieân kieán thöù ba, thieân kieán thöù tö, -A * -(-A), phuû ñònh phaân ly hai thieân kieán ñaàu (chaúng khaúng ñònh chaúng phuû ñònh) coù theå vieát ra theo daïng phöông trình nhö sau:

(4)    - (+3 +5) + -(-(+3 +5)) = -8 + -(-8)

Keát quaû sau khi laøm tính laø:

(4')    - (+3 +5) + - (- (+3 +5)) - [-8 + -(-8)] = 0

Keát luaän: Phuû ñònh phaân ly hai thieân kieán ñaàu, -A * -(-A), laø zero. Nhö vaäy coù nghóa laø moïi phuû ñònh phaân ly hai thieân kieán ñaàu ñeàu voâ töôùng treân phöông dieän Chaân ñeá vaø voâ töï tính treân phöông dieän tuïc ñeá.

Toång keát: Taát caû boán thieân kieán cuûa töù cuù ñeàu voâ töôùng treân phöông dieän Chaân ñeá vaø voâ töï tính treân phöông dieän tuïc ñeá.

Ñieàu phaûi chöùng minh ñaõ ñöôïc chöùng minh.